Persönliche Erfahrung: 12/2015 nach einem 12-Std.-Flug aus ZRH im internationalen Terminal in LAX gelandet. ALLE Passagiere meines Fluges wurden an die Schalter gewiesen, obwohl schon damals die APC-Automaten dort waren. Natürlich gabs genau dann, als ich am Schalter war Probleme, irgendeine Software blieb hängen. Ich habe dann angeboten, meinen ESTA-Papierausdruck hervorzunehmen, worüber die freundliche Officerin sehr dankbar war! So konnte sie mich dann doch noch zügig "verarbeiten". Das war zwar bislang das einzige Mal, wo mir der Ausdruck durch vorweisen weitergeholfen hat, aber ich mach das generell aus Prinzip so: Für den Fall der Fälle immer alles auf Papier - oder meinetwegen auch offline auf dem Smartphone gespeichert.
Auch bei mir wollte allerdings noch nie eine Airline den Ausdruck sehen. Ab und zu Nachfrage in ZRH beim Check-In "Haben Sie ESTA gemacht?", worauf bislang ein "Ja" stets genügte.